日記「芦」

どうにかする為には手段を選んでいる遑はない。- 絶望文学集より･久米田康治著 曲線の傾き - 数学 2010/8/15(Sun.)

dy/dxとy/xの関係について考えてみよう、と。
以下のように計算してみた

とりあえずxy平面で考える。
例えばxとyはパラメータtで表されるとする。しなくてもいいけど。
また変数の右肩の'はそれの導関数を表す。
tをパラメータにするならtで微分したということ。

y' = ((y/x)･x)' = (y/x)'･x + (y/x)･x'
　⇔
dy/dx = x･d(y/x)/dx + y/x　---(1)
勿論y'/x'=dy/dxであった。

dy/dxがy/xで近似できるのは
x～0の時とd(y/x)～0の時である。
もちろん、もう片方が無限に飛んだら知らん。いや後で少し触れる予定

x～0とは勿論、y軸の近傍であり、
d(y/x)～0とは曲線の方向が「原点を通るある直線」向き、ということ。
後者は意味から考えればdy/dx～y/xになるだろう。

前者のx～0はちょっと疑わしいなあ。
だって例えば、「y=2(x=t;tは実数)」という横向きの直線を考える。
x～0であってもdy/dx=0でy/x=2/x=∞じゃん。
式(1)は成り立つんだから、
恐らくファクターとなるのがd(y/x)/dxだろう。に違いない
d(y/x)/dx=2d(1/x)/dx=-2/x2で-∞になる。
式(1)を形式的に(感覚的)書くと
0 = (0)･(-∞)+(∞)
である。(c)は極限でcという意味。

同じ直線についてx→∞で考える。
当然dy/dx～y/xとなる。どちらも0に極限で飛ぶから。
ということは
式(1)⇔
x･d(y/x)/dx = dy/dx-y/x
なので、lim[x→∞] x･d(y/x)/dx=0かあ。
いやこれは当たり前か。

まあとにかくそういう話。

コメ(0) | トラ(0)

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