電磁気の為の特殊相対論の準備

電磁気の為の特殊相対論の準備 2011/12/13(Tue.)
ガリレイ変換(Galileian transform)
静止系Kとそれに対して速度vで動いてる系K'。どちらでも時刻tは同じ
であろう。そして、Kで速度uで動く物体をK'から見た時
u' = u-vであるだろう、という目論見から次の関係を得る。
即ち、K(t,x,y,z)とK(t',x',y',z')について
t' = t
x' = x-v_xt
y' = y-v_yt
z' = z-v_zt
これをガリレイ変換という。

Michelson-Morleyの実験と光速不変の原理
Maxwell方程式(1861)は電磁波が波であることを示唆する。
その27年後、Herzにより電磁波が発見された。波は媒質を伝播
するものであるから電磁波の媒質"ether"が仮定された。
これを受けてなされたのがMichelson-Morleyの実験(1887)である。

詳細は略(wikipedia:マイケルソン･モーリーの実験)
とにかく、エーテルが地球に吹いているなら、(1/10)λの位相変化が
見れるハズであり、彼らの実験精度では0.03λの位相変化まで観測
できるはずだ。なのに観測できなかった。現在ではレーダー実験により
10^-7λの精度で観測できる。でも位相変化は見られなかった。
→光はどの系でも速度が同じなら位相は変化しないだろう。

ローレンツ変換(Lorentz transformation)
導出の指導原理相対性原理
光速不変の原理
v<<cの時にガリレイ変換と一致すること
物体の同じ運動はどの系で見ても同じように運動式で表せる為に
ローレンツ変換は線形(らしいよ)。
ローレンツ変換を表す行列をLとして
[ct';x';y';z'] = L[ct;x;y;z]
静止系K、それに対してx方向にvで動くK'。
x方向に関するだけのローレンツ変換L_xを求める。

ct' = a₀₀ct + a₀₁x ---(i)
x' = a₁₀ct + a₁₁x ---(ii)
y'=y
z'=z
y,zは変化しないはず。上2つの式は線形だから。
L_xt = [a₀₀,a₀₁; a₁₀,a₁₁] として
L_x = [L_xt,O; O,E]

点OをKとK'で表すと
x=0, x'=-vt
これを代入すると
(i)⇒ct'=a₀₀ct
(ii)⇒-vt'=a₁₀ct
これよりa₁₀/a₀₀ = -v/cを得る。

点O'をKとK'で表すと
x=vt, x'=0
これを(i)に代入したら
0=a₁₀ct+a₁₁vt
∴a₁₀/a₁₁ = -v/c

この二つの結果から
a₀₀=a₁₁ (=γとする)
またv/cという量は頻繁に現れるので
v/c = βとする。

次に光速不変の原理を使う。
t=t'=0で原点からx方向に光を放つ。光の座標は
x=ct, x'=ct'
これを(i)に代入すると
ct'=a₀₀ct+a₀₁ct
ct'=a₁₀ct+a₁₁+ct
a₀₀=a₁₁=γを代入すると
a₁₀=a₀₁=-βγを得る。
(i)(ii)に代入して
[ct';x'] = [γ,-γβ; -γβ, γ][ct;x]
⇔ [ct;x] = 1/{γ²-γ²β²} [γ,γβ; γβ,γ][ct';x']

次はK'を静止系と考える。即ちKがK'から見て-vで運動している。物体の運動に
ついてはさっきと同じだ。だから運動方程式は同じになるはず。でもβは-β
になるだろう。vが-vになるから。
よって[ct;x] = [γ,γβ; γβ,γ][ct';x']となる。
さっきの関係式と一致するはずだから
γ²-γ²β² = 1　∴γ=±1/√(1-β²)

v<<c の時、つまりβ→0の時を考えるとγ→1にならないといけないから
γ=1/√(1-β²)に決まる。

よって
[ct';x';y';z'] = [[γ,-γβ;-γβ,γ],O;O,E][ct;x;y;z]
γ=1/√(1-β²), β=v/c


10/24
Minkawsky空間
Galilei変換において時間と空間は独立のものだが、Lorentz変換においては
時間と空間は一体である。

世界点(world point)… 4次元時空の1点
事象(event)… ある世界点での出来事
世界線(world line)… 4次元時空での質点の運動

二つの点(ct₁, x₁)と(ct₂, x₂)の間の(長さ)²を持つ量を
s₁₂ = (ct₁-ct₂)² - (x₁-x₂)²
とする。
原点と点(ct, x)のキョリを世界間隔(世界長)といい、
s² = (ct)² - x²
である。

(世界間隔)²
s² < 0 ⇒ 空間的領域
s² = 0 ⇒ 光円錐
s² > 0 ⇒ 時間的領域
と、時空を光円錐によって二つに分ける。

世界間隔はローレンツ変換によって不変である。
L: s² = (ct)² - x²
	→ (γct-γβx)² - (-γβct+γx)²
	= γ²(1-β²)(ct)² + γ²(β²-1)x²
	= (ct)² - x²

β = v/c = tanh(ξ)
	= [exp(ξ)-exp(-ξ)]/[exp(ξ)+exp(-ξ)] とすると
γ = (1-β²)^-1/2 = cosh(ξ)
γβ = sinh(ξ)

Lorentz変換は一般には不可換である。
Lx(β) = [[γ, -γβ; -γβ, γ], O; O, E]
Lz(β) = [γ,0,0,-γβ;O;O;-γβ,0,0,γ]
Lx･Lz ≠ Lz･Lx

ただし同じ軸上だけでのローレンツ変換は可換である。
Lx(β₁)Lx(β₂) = Lx(β₂)Lx(β₁)

a₀₀ = Lの00成分。
det(L)=1, a₀₀>0 ⇒ 正規ローレンツ変換
a₀₀>0なのにdet(L)=-1 ⇒ 空間が反転してる
a₀₀<0 ⇒ 時間が反転してる
かつ、det(L)=-1 ⇒ 空間「も」反転してる

速度合成
微小変化
cdt = γcdt' + γβdx'
dx = γβcdt' + γdx'
dy = dy'
dz = dz'
を考えると

u_x = dx/dt
	= γ(βcdt'+dx')/{(1/c)γ(cdt'+βdx')}
	= …
	= (γ+u_x') / (1+γu_x'/c²)
u_y = dy/dt
	= u_y' / (γ(1+β/c² u_x'))

v<<c, |u|<<c とすると、β→0, γ→1 になって
u_x→v-u_x', u_y=u_y'

ローレンツ短縮(収縮)
ct' = γct-βγx
x' = -βγct+γx
ct'-x'グラフで
ct'軸は、x'=0として ct=(1/β)x
x'軸は、ct'=0として、ct=βx

K'で同時刻t'の点はKではどう見えるか。
ct' = γct-βγx
 ⇔ ct = βx-γ^-1ct'

K'で同じ位置x'にある点はKではどう見えるか。
x' = -βγct+γx
 ⇔ ct = β^-1x-(γβ)^-1x'

K'でx'∈[x', x'+h']に置かれた長さh'の物体をKからはどう見えるか。
点x'と点(x'+h')がどの位置に見えるかを考えるわけだが、それはct'にも
依存する。ct'を先に決めないといけない。

Kで二点を見るのは同時刻ctであるとしてよいだろう。
ct = γct'+βγx'
より点x'を見る時刻はKではctだがK'では時刻は
ct' = (ct-βγx')/γ
であって、点(x'+h')を見るのは
ct = γct'+βγ(x'+h')
より、K'での時刻は
ct' = (ct-βγx'-βγh')/γ
である。

K'での時刻を求めたのでコレを使って、x'をKで見た時の位置xが計算できる。
x = βγct'+γx'
	= β(ct-βγx')+γx'
(x+h) = βγct'+γ(x'+h')
	= β(ct-βγx'-βγh')+γx'+γh'

この二つの差をとって
h = γ(1-β²)h'
	= √(1-β²) h' < h'
K'で静止している物体を観測すると実際より短縮して見える。


粒子の寿命の延び
静止した粒子の崩壊確率
P(t) = (1/τ)exp(-t/τ)

崩壊する時刻の期待値
<t> = ∫₀^∞ tP(t) dt
	= τ

崩壊して残ってる数
N(t) = N₀exp(-t/τ)

Kで粒子が速度v=cβで飛んでいるとする。
粒子の系をK'とする。K'では粒子の座標は(t',0)。

[ct; x] = L[ct'; 0]
	= [γct'; γβct']

∴ct < ct'
Kで見ると寿命が延びてる。


時間のパラドクス
a point is running at v on K. the point has a clock(C').
K' is the system of the point.

on a time, the point is on P.
P is (ct,x=vt) on K.
also be (ct', 0) on K'.
now, from A on K(ct,0), watch the clock,C'on P.
C' shows ct'.
To A, C' must be ct. Such that AP // x-axis.

Lorentz transform says that
	ct' = γct-βγx; //x=vt;
		= cγ(1-β²)t
		= c*sqrt(1-β²)t
		< ct
	so ct' < ct.

then, from the point on P, watch the clock(C) on x=0 on K.
C shows ct.
To P, C must be ct'.
C is on B. Such that BP // x'-axis.

Lorentz trans says that
	ct = γct'+γβx'
	x(=0) = γx'+γβct'
	so ct = sqrt(1-β²)ct'
		< ct'
	finally ct < ct'

this is not paradoxy. because,
first t is on A. second t is on B.
this shows just that
	t_B ≤ t' ≤ t_A

Moving each object watch the time of other lately.

Twin's Paradox 
On ct-x plane on K.
a man run from O(0, 0) to P(ct_p, x_p) at v (on K')
then accel and run from P to Q(ct_q, x_q=0) at -v (on K").
another man run from O(0, 0) to Q;

when the two meet on Q, the two's clock meet?

γ = 1/sqrt(1-β²); β = v/c
on K'
	ct' = γct-γβx
	x' = -γβct+γx

on K"
	ct" = γct+γβx
	x" = γβct+γx 

on P, the man's time is τ
	τ = sqrt(1-β²)t
	(from that "Time's Paradox")

consider the line to show same time on K and on K'.
such, the lines to be // x'-axis.　(直線の並行関係)
AP // x'-axis. A is on ct-axis.
BP // x"-axis. B is on ct-axis.
between A and B has space.
But it cause no problem. because no energy has drawn.
if the man accel smoothly at P, The Space do not exit.
	

特殊相対論と因果律 
1. shoot a gun at O(0,0)
2. a man shooted by 1 at P(ct_p. x_p).
3. shoot a gun at Q(ct_q, x_q). ct_q is greater than 0 and is never by 1.

Considering the time order, Lorentz transform save the relation, 1⇒2?
And 1 not⇒3?

on K, P is (ct_p, x_p) then ct_p > x_p.
And any Lorentz transform P→P(ct_p', x_p') save ct_p' > x_p'.
So on time-oder, 1⇒2.

But ct_q can ct_q' < 0 by a Lorentz transform...

相対論の数学的整備
(ct,x,y,z) is written as (x⁰,x¹,x²,x³).
such element is x^μ(μ=0,1,2,3).

the length of world
	s² = (x⁰)²-(x¹)²-(x²)²-(x³)²
		= ∑_μ∑_ν g_μ_ν x^μx^ν
	
	now g is in Matrix(4*4)
	g = [(1,0,0,0); (0,-1,0,0); (0,0,-1,0); (0,0,0,-1)]

アインシュタインの省略
添字がsupとsubに同じのがセットになっていたら、自動的に和をとる（その添字についてΣを頭に置いて考える)
即ち、
	g_μνx^μx^ν
is
	∑_μ=0³ ∑_ν=0³ g_μ_ν x^μx^ν

ローレンツ変換における世界長の不変性の表す式
	g_μ_νx^μx^ν = g_μ_νx'^μx'^ν

Lorentz transform
x'^μ = L^μ_νx^ν
L^μ_ν = [[γ, -βγ ; -βγ, γ],0 ; 0,E]

x'^μ = ∂x'^μ/∂x^ν x^ν
so L^μ_ν = ∂x'^μ / ∂x^ν

(∂/∂x^ν) を ∂_ν　と表記する。

(∂_νx'^μ)x^μ と書いてもEinsteinの省略を適用してμについて和をとる。

ローレンツスカラー
x = [x⁰; x¹; x²; x³] をスカラー量に写す関数φ(x)で、
ローレンツ変換に依ってxがx'になった時、
φ(x) = φ(x')
となるもの。例えば{xの世界長}を返すようなφ(x)はローレンツスカラーである。

反変ベクトル (contravariant vector)
座標x^νがローレンツ変換を受けるのと同じように
U'^μ(x) = L^μ_ν U^ν(x)
となるベクトルU(x)。

共変ベクトル (covariant vector)
スカラーφのgrad vectorと同じようにローレンツ変換を受けて
V'_ν(x) = ∂'_νφ'(x') = ∂'_νx^μ ∂_μφ(x)
	= ∂'_νx^μ V_μ(x)
	= (L^-1)^μ_ν V_μ(x)

反変テンソル
二つの反変ベクトルの積と同じローレンツ変換を受ける。
T^μν(x) = A^μ(x) B^ν(x)
	= [(A⁰B⁰, ,, );;; (A³B⁰,, A³B³)]
に対して
T'^μν(x) = (∂_σx'^μ)(∂_ρx'^ν)T^σρ(x)

混合テンソル
T'^μ_ν = (∂'_νx^σ)(∂'_νx^ρ)T^σ_ρ(x)


質点の四元速度、四元運動
三元速度とは
vⁱ = dxⁱ/dt = [c･dt/dx⁰; c･dx/dx⁰;;] (i=1,2,3)

v = [v¹; v²; v³] でK系上を運動する粒子
のその静止系K'での固有時をτとする。

反変ベクトルとして振る舞う速度を定義する。
次の微少量を考える。
K'の静止した点O'の移動における世界長は
ds² = (c･dτ)²
これをKから見ると
ds² = (c･dt)² - dx² - dy² - dz²
二つのdsは一致するはずで(!)、変形すると
dτ² = dt² - c^-2(dx²+dy²+dz²)
	= dt²(1-v²/c²)
故に dτ = sqrt(1-β²)dt
また、この結果より
dt/dτ = γ
が分かる。このγを「ガンマエフェクト」と呼ぶ。

四元速度
u = [u⁰; u¹;;] = [dx⁰/dτ; dx¹/dτ;;]
	= [c･dt/dτ; dx/dτ; dy/dτ; dz/dτ]

/*
四元ベクトルと三元ベクトルで記号が時々入り混じるので、ここからは
三元ベクトルには上に矢印を付けて
 v→
と書き、四元ベクトルは単に
v
と書くことにする。これ以降は。

あとローレンツ展開は今だにx方向にしか使ってない。一般の形は計算も
面倒だし、問題を解く時には都合のいいように速度v→をx軸方向に
取ったりする。だから速度とか運動量もこれからは単にx成分しか無い
ベクトルのように書いたりするかもしれない。単に私がラクをしたいだけ
だけど。
*/

u² = g_μν u^μu^ν
	= (c･dt/dτ)² - (dx/dτ)²
	= [(c･dt)²-dx²]/dτ²
	= (ds)²/(dτ)²
	= c²
四元速度の大きさは一定である。

また、ガンマエフェクトを用いると
u^μ = dx^μ/dτ = (dt/dτ)･(dx^μ/dt)
	= γv^μ //vは三元速度
	= cγβ^μ
但しβはv/cという三元ベクトルであり、
βⁱ = vⁱ/c
である。


11/7
質点の四元運動量
静止質量をmとする質点の運動量を
p = mu
という四元ベクトルで定義する。
p⁰ = mc･dt/dτ = mcγ
p¹ = m・dx/dτ = mcγβ¹

p² = (p⁰)² - (p¹)²
	= m²c²γ² - m²c²γ²(β¹)²
	= m²c² > 0

cp⁰の物理的意味
非相対論の立場における物理的な意味を考える。
cp⁰ = mc²γ
	= mc²/sqrt(1-β²)
	～ mc² + (1/2)mc²β² + (3/8)mc²c²β⁴ + …
	(abs(β)<<1 であるとし、β～0の周りでテイラー展開した)
さて
(cp⁰-mc²)～(1/2)mc²β² = (1/2)mv²
これはニュートン力学で言う運動エネルギである。
mc²をp=0の時のエネルギなので静止エネルギという。
粒子のエネルギを
E = cp⁰
で定義する。

p = [p⁰; p¹]
	= [E/c; p_x]
p_xは三次元でいう運動量で
p→^‎ = [p_x; p_y; p_z}
である。

質点の運動方程式
ニュートン方程式は
xⁱ(t)
vⁱ(t) = dxⁱ/dt, m･d²xⁱ/dt² = fⁱ (i=1,2,3)
としてtを絶対的なものとして扱う。

Lorentz変換に対して共変(grad的な)運動方程式は
x^μ(t)
dp^μ/dτ = f^μ
外力fを四元ベクトルで表す。
f=0ならば、外力が働いてなく、エネルギと運動量の保存を表す。


相対論的運動学 (Relativistic Kinematics)
ℏ = h/(2π) = 1.
c = 1.
とする単位系を「自然単位」といい以降これを用いる。
ℏ及び光速は無次元であり、故にE, p, m, ωは∀同じ次元となる。
またエネルギの単位には[eV](電子ボルト, electron volt) を用いる。

1[eV]は-1Vの電位の極板にある電子1e^-の持つポテンシャルに等しい。
1[eV] = 1.6e-19[C]・1[V]
	= 1.6e-19[J]

ℏcはSI単位系ではエネルギ掛ける長さの次元で
ℏc = 197[MeV･fm]
	= 2e-7[eVm]
自然単位を導入すると
[m] = ℏc/[Energy] = 1/[eV]
面積[m²]は[(eV)^-2]の次元。

ああ、あと「p⁰ = E」、「u² = 1」などになる。以降注意すること。

四元運動量のローレンツ変換
四元運動量は四元速度の静止質量倍だから、反変ベクトルであり、
座標をローレンツ変換するのと同様にローレンツ変換行列を掛けてやればよいのだ。

K系の上をvで走る粒子があって、粒子にとっての静止系K'では粒子の運動量は
p' = [m; 0]
これにローレンツ(逆)変換を施すと
p = [E;p_x] = L(-v)･p'
	= [γ,γβ; γβ,γ][m;0]
	= [mγ; mγβ]
故にKから見た粒子のエネルギ、三元運動量は
E = p⁰ = mγ
p→^‎= mγβ
故に、γ = E/m, β = p→^‎/E
βはいちいち書かないけど三元ベクトルである。

p = mu より、p² = m²u² = m²
p = [E; p→^‎] より p² = E²-p→^‎²
この二つから
E = sqrt(p²+m²)
|p| &lr;&lr; |m| として|p/m|～0の周りでテイラー展開して
E = m + (1/2)p²/m + …
mが静止エネルギでp²/(2m)が運動エネルギ。 

光速で走る粒子すなわち光子を考える。
p→^‎= mγβ
	= mβ/sqrt(1-β²)
速度vを1にするとは、0から1-0に近づける極限を考えて
β = v/c → [1; 0; 0]
γ = 1/sqrt(1-β²) → +∞
この時
m = E/γ → +0
p→^‎= Eβ → [E ;0]

また、ド・ブロイによれば
光子は、
p = h/λ = hν/c = E/c
p = hν/c = (ℏ/c)ω
である。
自然単位を導入すると
E = p = ω
となる。


重心系 (CMS, Center of Momentum System)
系にNコの粒子がある。それぞれのデータは｛質量:m_i; 運動量:p_i→｝。
各々のエネルギは E_i=sqrt(m_i²+p_i²) と決まる。
全エネルギ: E = ΣE_i
全運動量: P→^‎= Σp_i→^‎

あるローレンツ変換を施すことによって
L: P→^‎→ P^*→^‎= 0
とすることができ、このローレンツ変換された座標系を重心系、CMSという。
// CMSでのエネルギ、運動量などは右肩に*を載せた変数を用いる


P→^‎向きにx軸にとったK系で[E;P→^‎]で粒子が走ってるとする。

エネルギ二乗はローレンツ変換に依って不変であり
s = E² - P→^‎²
	= E^*² - P^*→^‎² = E^*²
故に E^* = sqrt(s)

(E,P→^‎)→(E^*, P^*→^‎)と変換するローレンツ変換を考える。
[E^*; P^*→^‎] = [γ, -γβ; -γβ, γ][E; P→^‎]
今、[E^*; P^*→^‎] = [√s; 0]だから
β = P→^‎/E
γ = E/√s
と同じような結果が求まる。でも二つ目は有用だ。

相互衝突型加速器(Collider)
従来の標的実験では、静止質量mの粒子を[E;P]で静止した質量mの粒子に
衝突させる。この衝突の際のエネルギ二乗を求める。単純に二つの持つ
エネルギを合計するだけで
s₁ = (E+m)² - (P→^‎-0)²
	= E²-P→^‎²+2mE+m²
	= 2m(E+m) (∵m²=E²-P→^‎²)
故に√s₁ ～ sqrt(2mE)

現在行われる標的実験は相互衝突で、次のようである。
二つの静止質量mの粒子を(E/2, P→^‎)、(E/2, -P→^‎)で走らせて
衝突させる。
s₂ = (E/2 + E/2)² - (P→^‎- P→^‎)²
	= E²
故に√s₂ ～ E
と、従来のより効率が良い。
つまり、さっきのだと消費するエネルギを10倍にしても3.1倍程度しか衝突
エネルギは増えないが、こちらはエネルギを10倍にすると衝突エネルギも
10倍になる。

CERNの持ってるLHC(Large Hadron Collider)では√s=1.4e12[eV]だった。
今は長さが半分になって0.7[TeV]だけど。で、陽子どうしを相互衝突させてる。
従来の方で衝突エネルギ1.4e12[eV]を再現するには、
E₁ = s²/2m = 1.0e5[TeV]
新しい方だと14[TeV]で済む。


粒子の衝突、散乱
二つの粒子a,bが衝突して、二つの粒子c,dになったとする。
四元運動量の保存は P_a+P_b = P_c+P_d
エネルギ二乗の量として次の三つの等式が得られる。
s = (P_a+P_b)² = (P_c+P_d)²
t = (P_a-P_c)² = (P_b-P_d)²
u = (P_a-P_d)² = (P_b-P_c)²
第二辺を展開すると
s = P_a²+2P_aP_b+P_b²
	= 2P_aP_b+m_a²+m_b² //P=muよりP²=m²
t = -2P_aP_c+m_a²+m_c²
u = -2P_aP_d+m_a²+m_c²

静止した陽子に陽子を衝突させて反陽子を生成する。
陽子及び反陽子の静止質量はどちらもmだとする。
反応式は「p+p→p+p+p+p」である。
s = (E+m)² - P→^‎²
	=2m(E+m) ≥ E^*² - P^*→^‎² = E^*²
	//CMSで考えると必要な最小のエネルギを考えることになる
E^* = 4m
∴E≥7m (≡6.57GeV)

光のドップラー効果
K系の上を走る光源の静止系をK'とする。K'で光源は光(ε^*, k^*→^‎)を出す。
光子はフォトンなので|k→^‎|=ε である。
Kで光は(ε,k→^‎)に見えるとして、k→^‎方向にx軸をとる。
ローレンツ変換を施すと
[ε;k₁] = [γ,γβ; γβ,γ][ε^*, k₁^*]

観測者がk^*→^‎方向にいる時(縦ドップラー効果)
k₁^* = ε^* を代入して
ε=k₁=γ(1+β)ε^*
を得る。これから
ε/ε^* = ν/ν^* = λ^*/λ ～ 1+v/c (β～0の周りで)
とドップラー効果が見られる。


11/14
x₁方向に動く光源からx₂方向に発した光子を観測されるときのドップラーを
横ドップラー効果という。
観測者からは[k₁,k₂]に見える。四元運動量を計算すると
[ε;k₁;k₂] = [γ,γβ,0; γβ,γ,0; 0,0,1][ε^*; 0; ε^*]
∴
ε= γε^* → ε^*
k₁= γβε^* → 0 (β→0の時)
k₂= ε^*

宇宙背景放射 (CMB, Cosmic Microwave Background)
1964, WilsonとPenziasが宇宙からの電磁波を計測した。波長はmicrowaveで
温度換算3K。現在では精度がもっとよくて、T = 2.725±0.001 K (Planck分布)
エネルギに換算すると<ε> = kT = 2.34e-4 eV.

Geroge Gamovの予言
宇宙は電子、陽子、α粒子がプラズマとして存在してたけど宇宙暦30万年頃に
それらは原子として存在するようになった。そうすると局地的にも電荷が
ニュートラルになり、光は直進できるようになった。（宇宙の晴れ上がり）
T～3000K くらい
また光の波長は宇宙の拡大に比例して長くなる。光のエネルギはE=hν=hc/λで
表されることから、波長が長くなる分、エネルギは小さくなる。

1990の測定で、地球の真反対の2ヶ所でCMBを測定するとその温度は非常に近い値
であった。違う方向から来た電磁波なのになぜか→Inflation宇宙: CMBが等方に
見える座標が存在するのかも。

宇宙線エネルギの上限：Greisen-Kuzmin-Zatsepin cut off (GKZ-cutoff)
(E,p)で動く陽子pに(ε,k)のガンマ線を当てると陽子とπ⁰粒子ができる。
衝突エネルギは
s = (E+ε)² - (p+k)²
	= (E²-p²) + (ε²-k²) + 2Eε - 2pk
	= M² + 0 +2Eε - 2p→･k→	// photonはε=|k|
これが最大となるのはk→=-εとする時で、即ち陽子とガンマ線の正面衝突を
これは表すが、代入してsの最大は
M²+2ε(E+p)
また「E² = p² + m²」より、|p|の最大はEで、それも代入すればsの最大は
M²+4εE

また衝突エネルギは二つの静止エネルギの和より常に大きいから
s>(M+m)²
∴M²+4εE > M²+m²+2Mm
∴E > (1/4/ε)(2Mm+m²)
M = 0.938 GeV, m = 0.135 GeV, <ε> = 2.34e-4 eV とすると
E > 2.9e20 eV
だから2.9e20eV以上の陽子はπ⁰になるから、宇宙放射として来るのは
コレ以下のもののみ。

粒子崩壊と運動学
一般の二体崩壊として「c→a+b」を考える。粒子cの質量をM、a,bの
質量をM_a, M_bとする。
CMS(cの静止系になる）でa,bを見ると
運動量保存から
p_a^* = -p_b^* (=p^*)
エネルギ保存は
E_a^* + E_b^* = M
んで
E_a^* = sqrt(p^*²+m_a²)
E_b^* = sqrt(p^*²+m_b²)
から、Eとpを解くと
E_a^* = (M²+M_a²-M_b²)/2/M
E_b^* = (M²-M_a²+M_b²)/2/M
p^* = [(M+M_a+M_b)(M-M_a+M_b)(M+M_a-M_b)(M-M_a-M_b)]^-1/2/2/M

[E_a^*; p_a^*] = [E_a^*; p^*cos t^*; p^*sin t^*]
を逆ローレンツによって[E_a; p_x; p_y]に戻す
E_a = γE_a^* + γβp^*cos t^*
p_x = γβE_a^* + γp^*cos t^*
p_y = p^*sin t^*

cos²+sin²=1から
((p_x-γβE_a^*)/(γp^*))² + (p_y/p^*)² = 1
という楕円を描く。横に長い。それはcのすすむ方向だから当然だ。
楕円の中心は[γβE_a^*, 0]で長径はγp^*
γβE_a^* : γp^* = β : p^*/E_a^*
	= β : β^*
だから、β>β^*の時、楕円はいつもx>0にあることになり、粒子a, bは
いつも前方に放出されて見える。

例。　π⁰→γγという崩壊。質量はπ⁰は m = 0.135 GeV ガンマは質量ゼロ
γ二つは一つをa、もう一つをbとする。π⁰で見た静止系（CMS)で見ると
E_a^* = E_b^* = m/2
m_γ=0より、E_a^* = p_a^* = p_b^*

π⁰がx方向にp→で動いて見える系では
E = sqrt( p²+m² ), β = p/E, γ = E/m
γは光子だからβ^*=1で当然β^*≥β。よって後方にも放出する。
[E_a; p_a_x; p_a_y] = L・[E_a^*; E_a^*cos t^*; E_a^*sin t^*]
L = [[γ, γβ, 0]; [γβ, γ, 0]; [0, 0, 1]]
bについてはcosとsinを-cos, -sinにすればいい

π⁰はスピン0。だから回転エネルギとか余計なこと考えずに静止系で
γ_a(及びγ_b)の分布は等方的(isotropic)で
dΓ/dΩ^* = Const (Γは散乱断面積; http://qmpack.homelinux.com/~fujiwara/QMSP1/No1-3.pdf)
dΩ^* = dφ^*･d(cos t^*)を代入して
dΓ/d(cos t^*) = Const.
Eaはcos t^*によってのみ決まる.
Ea = γEa^* + γβEa^*cos t^*
ので
dΓ/dEa = Const
またEaの範囲は、[γEa^*(1-β), γEa^*(1+β)] の間。

崩壊角とJacobian peak
前の例の「π⁰ → γγ」を考える。
π⁰は(E,p)で動いていて、崩壊して、二つのγが角ψを成して飛んでいったと
する。二つのγのエネルギはEaとEb。Ea+Eb=Eである。Ea=xEとするとEb=(1-x)E。
xは0以上1以下の実数。
m_π² = (Ea+Eb)² - (p_a+p_b)²
	= (Ea²-p_a²) + (Eb²-p_b²) + 2EaEb - 2p_ap_b
γの質量ゼロなのでEa=p_a, Eb=p_b. これを代入して
p_a･p_b = Ea･Eb･cosψ
だから
m_π² = 2EaEb(1-cosψ)
	= 4E²x(1-x)sin²(ψ/2)
∴m_π = 2E･sqrt(x(1-x))･sin(ψ/2)
また、sin²(ψ/2) = m_π²/4/E²・1/x/(1-x)

sin²(ψ/2)はxを0～1で動かした時、x=1/2で最小になってx=0,1に近づくと+∞
に発散する。もちろんsin≤1だから、きっとそんなxは取りえない。
x=1/2でsin²(ψ/2)が最小でその時ψも最小となる。だってψの取り方により
、0≤ψ<πとできるから。
(dΓ/dψ)はx→1/2の時、つまりψ→ψ_minで+∞に発散して、そこを
Jacobian peakという。


11/21
特殊相対論の纏め
Lorentz trans
β = v/c , γ = (1-β²)^-1/2
[ct'; x'] = [[γ , -γβ]; [-βγ, γ]][ct: x] 
逆は[[γ, γβ]; [γβ, γ]]

時空のダイアグラム


x'軸: ct' = 0 ⇔ γct - βγx = 0 ⇔ ct - βx = 0
ct'軸: x' = 0 ⇔ -βγct - γx = 0 ⇔ ct - x/β = 0

四元ベクトル、自然単位
運動量P = [E; vec(P)]
c = ℏ = 1
Pもまた座標と同じようにローレンツ変換がなされる。

CMSではvec(P)=0とし、
[γ, γβ; γβ, γ][M: 0] = [γM; γ&beta:M] = [E; P]
から、
β = P/E , γ = E/M

Lorentz Scalar
電荷、静止質量、固有時、固有長はLorentz transに不変。

エネルギ二乗
s = (ΣE)^2 - (ΣP)^2
これもローレンツ変換で不変なはずであるが、CMSではE=M>0, P=0から
s>0である。
コメ(0) | トラ(0)
intime o'
