日記「芦」

ここに越ゆべからざる太い、まっ黒な線がある。(太宰治著「もの思う葦」より) 復履変換の練習 - 数学 2011/3/25(Fri.)

f(x) = -x/L + 1 (0≦x≦L)
　　　-x/L - 1 (-L≦x≦0)
 ・・・不連続点は適当に。xの範囲[-L,L]で周期的。

Lは何か大きな定数。上のグラフではL=10.

これをフーリエ変換してみる練習。
f(x)～a[0]/2+Σ[n=1～∞]{a[n]･cos(nπx/L)+b[n]･sin(nπx/L)}

f(x)は奇関数だからa[n]=0.
b[n]は実直に計算.
b[n] = (1/L)∫[-L,L] f(x)sin(nπx/L)･dx
= (1/L)∫[-L,L] (-1/L)x･sin(nπx/L)･dx
	 +(1/L)∫[0,L]sin(nπx/L)dx+(-1/L)∫[-L,0] sin(nπx/L)dx
=・・・
= (4(-1)^n-2)/n/π　(∵cos(nπ)=(-1)^nである)

これをGCalc-Plusを用いてグラフにした。

無限級数和であるところを都合上100までにしてある

一方、次のような計算もできる。
f(x)は
	g(x) = -x/L (-L≦x≦L)
これをxについてL平行移動させたものである。
計算の量が少し減る。

g(x)についてのフーリエ変換
gも矢張り奇関数なのでa[n]=0.
b[n] = (1/L)∫[-L,L] g(x)sin(nπx/L)･dx
= (1/L)∫[-L,L] (-1/L)x･sin(nπx/L)･dx
=・・・
= 2(-1)^n/n/π　(∵cos(nπ)=(-1)^nである)

この級数から得られる式についてx→x-10としてみて
またGCalc-Plusで描いてみた。同様に無限ではなく100までで


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最初計算間違いをしていて、とんでもないことを書いてたけど無視

コメ(0) | トラ(0)

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