日記「芦」

生きることは、芸術でありません。(太宰治著「風の便り」より) 無限級数 - 数学 2011/04/13(Wed.)

無限級数
a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n]+…
のように、数を無限に加えたものを無限級数とよぶ。
a[1]を初項、a[n]を第n項とよび、
S[n]=Σ[i=1,n]a[n]
を第n項までの部分和とよぶ。
列 S[1], S[2], …, S[n], …
が収束するとき、無限級数が収束する、といい、さもなければ発散すると言う。
収束するとき S=lim S[n] を無限級数の和とよぶ。

等比級数
a+ar+ar^2+…+ar^n-1+…
は|r|<1 の時に収束し、和は S=a/(1-r) である。

ゼータ関数:ζ(s)
1+1/2^s+1/3^s+…+1/n^s+…
はs>で収束し、s≦1で発散する。
f(x)=x^(-s)の積分、級数積分との比較によって証明できる。

積分判定法
f(1)+f(2)+…+f(n)+…
と
∫[x=1,∞] f(x)dx
は収束、発散が一致する。

比較判定法
各nに対し、0≦a[n]≦b[n]とする。この時次の2つが成る。
・Σb[n]が収束⇒Σa[n]も収束
・Σa[n]が発散⇒Σb[n]も発散

コーシー判定法
正項級数a[n]に対して
定数r (0<r<1)と自然数Nが存在して
全てのn≧Nに対しa[n]≦r^n が成り立つなら
Σa[n]は収束する

ダランベール判定法
正項級数a[n]に対して
定数r (0<r<1)と自然数Nが存在して
全てのn≧Nに対しa[n+1]/a[n]≦r が成り立つなら
Σa[n]は収束する

コメ(0) | トラ(0)

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