日記「芦」
あなたは褒めることにもエネルギーを使ってください。 -『短編小説より愛をこめて(阿刀田高･著)』より 力学 2010/09/14(Tue.)このテキストは前サイトが無事な内に移動させたもの。
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==力学 ================================================
--保存量 ----------------------------------------------
vで動くmに力Fを加えるとv'になった。
加速度はa=F/m
微小時間⊿t秒だけ力が加わったとすれば
v'=v+(F/m)･⊿t
両辺にmを掛けて
mv' - mv = F･⊿t
mvを運動量
Ftを力積と定義する。
「増加した運動量は加えられた力積に等しい」
2つの物体m1とm2が衝突した。
速度はそれぞれv1,v2から衝突後v1',v2'になった
与えられた力は作用・反作用の法則から
m1に力Fが加わったならm2には-F加わる。
ｍ1･ｖ1 + F･⊿t = ｍ1･ｖ1'
ｍ2･ｖ2 - F･⊿t = ｍ2･ｖ2'
2式を足すと
m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
よって、運動量の合計は保存される。
--質量中心 ---------------------------------------------
2物体m1とm2の位置ベクトルをそれぞれr1,r2とする。
コレの重心を考える。
重心の質量はm1+m2で位置ベクトルは
ｍ1･ｒ1 + ｍ2･ｒ2
ｒc = ──────────
ｍ1 + ｍ2
この位置ベクトルを重み付き重心とも言う。
この式を時間tで微分すれば、
位置ベクトルrが速度ベクトルvになり、
ｍ1･ｖ1 + ｍ2･ｖ2
ｖc = ──────────
ｍ1 + ｍ2
そして
ｍ1･ｖ1 + ｍ2･ｖ2は外力が加わらなければ一定なので
vcは一定。
また、両辺に(m1+m2)を掛ければ
(m1+m2)vc = m1v1+m2v2
m1+m2を重心の質量と考えることができる。
--仕事 ------------------------------------------------
vで動くmにFが加わってv'になり、それまでに微小距離⊿r動いた
とする。
mv'-mv = F⊿t ⇔ m(v'-v)/⊿t = F
が成り立つので(運動量の節を参照)
W = F⊿r
= m(⊿r/⊿t)(v'-v)
⊿tが微小であることに注意して
⊿r/⊿t = (v'+v)/2 前後の速度の平均
代入して
W = m(v'+v)(v'-v)/2
=(1/2)mv'^2 - (1/2)mv^2
加わった仕事だけ運動エネルギは増加する。
Wを仕事
Ek = 1/2mv^2を運動エネルギ
と定義する。
因みにP=W/⊿tを仕事率という。
--位置エネルギー ---------------------------------------
まず例として重力を取り上げる。
重力によって、物体mをhの高さまで持ち上げる仕事は
-mgを0からhまでdxで積分して
W = ∫[0～h]-mg･dx
= -mgh
物体を持ち上げる方向と重力がかかる方向は逆である
からWにはマイナスがついている。
「仕事の符号を変えたものを位置エネルギーとする。」
-W=mghを位置エネルギーEpと定義する。
バネが自然長からx伸びたときkxの力が逆向きにかかるから
自然長よりh伸ばす(縮ませる)のにかかる仕事は
W = ∫[0～h]-kx･dx
= -1/2kh^2
-W即ち1/2kh^2をバネによる位置エネルギーEdと定義する。
特にバネの場合は弾性力によるものなので
弾性エネルギーと呼ぶ場合もある。
--力学的エネルギ --------------------------------------
ある物体mには一定の力Fがかかっている。
今、物体が位置rにある時、Fによる位置エネルギーを
Ｕ(r)で表す。
mに力fをさらに加えると
r1にある時v1で動き、r2にある時v2で動いたとする。
Ekの増加はかかった仕事に等しいはずだから
1/2m(v2^2 - v1^2) = (F+f)(r2-r1)
U(r2)-U(r1)=-F(r2-r1) だから(符号注意)
これを代入して
{1/2ｍｖ2^2 + U(r2)} = {1/2ｍｖ1^2 + U(r1)} + f(r2-r1)
{Ek+Ep}を力学エネルギー定義する。
--反発係数 --------------------------------------------
同一直線上を2つの物体m1,m2がそれぞれv1,v2で運動している。
速度は右向きに正、と揃えておく。
やがて衝突し、その後v1',v2'になったとする時、
v1-v2
e = - ─────
v1'-v2
速度の差の比を取るが、
v1とv2の大小は衝突後変化するのでマイナスを付けて
e≧0としている。一般にe≦1も満たしている。
e=0の時、完全非弾性衝突
e=1の時、(完全)弾性衝突 と呼ぶ。
衝突の前後で
・運動量の保存則
・運動エネルギの保存
の2式を解くことで2変数v1',v2'の解が求まる。
大変なので計算はしない。で、次が大事。
運動エネルギの和を次のように変形する。
Ek = 1/2･ｍ1･ｖ1^2 + 1/2･ｍ2･ｖ2^2
= 1/2(m1+m2)･vc^2 + 1/2(m*)･(v1-v2)^2
vcは質量中心(質量中心の節を参照)の速度で
vc=(ｍ1ｖ1+ｍ2ｖ2)/(ｍ1+ｍ2)
1/2(m1+m2)･vc^2は質量中心(重心)の運動エネルギで
Ec並進運動エネルギーと言う。
m1v1+m2v2は一定だからEcも一定。衝突に関わらない。
m*は換算質量といい
m* = m1･m2/(m1+m2)
1/2m*･(v1-v2)^2は相対速度|v1-v2|にのみ依存し
Er相対運動エネルギーと言う。
(v1-v2)が衝突後-e倍になるので
Erは衝突後e^2倍になる。
-m*についてもうちょいkwsk ---------
Erについてm*はなにかの質量として
働いてるが実際どうだろう。
2物体m1,m2が衝突しm1にF,m2に-Fの力が
加わった。それぞれ加速度a1,a2とする。
m1a1 = F
m2a2 = -F
∴a1-a2 = F/m1 + F/m2
= F/m*
⇔F = m*･(a1-a2)
運動方程式(F=ma)に当てはめてもm*は
質量として働いている。
-----------------------------------
●例題
質量Mの台車が床の上にあり、台車の上には物体mがある。
mとMとの摩擦係数をμとする。
ある瞬間、mがMの上をvで動き、Mは停止していたとする。
mはMの上をxだけ進みMに対して止まった。
解)初め、相対エネルギErは
Ec = 1/2(m*)･(v-0)^2
= (m*)･v^2/2
mがMに対して止まった時、Erはゼロだから
Erは全て摩擦による仕事に変わったはずである。
摩擦力はμmgだから
W = μmgx
これが1/2(m*)･v^2に等しく、
x = (m*)･v^2/2μmg
但しm* = m･M/(m+M) //
--質量中心系 -------------------------------------------
位置ベクトルr1,r2にある2物体がv1,v2で動いてる。
この物体を質量中心から見たとき、
・u1 =v1-vc
・u2 =v2-vc
という速度で運動している。
運動量の和は
m1･u1 + m2･u2 = (m1v1-m1vc)+(m2v2-m2vc)
= m1v1+m2v2-(m1+m2)vc
vc = (m1v1+m2v2)/(m1+m2)
であることを思い出せば
これはゼロであることが分かる。
もちろん質量中心系において、
一直線上でu1,u2で動く2物体が衝突した時、
衝突後の速度は？
--円運動 -----------------------------------------------
物体が点Oを中心に円を描いて運動している。
角速度 ω=dθ/dt
幾何学的関係から
v = rω
速度vで運動していて⊿t後にv'で運動したとする。
⊿v = v'-v
= vω⊿t
∴a = ⊿v/⊿t
= vω
かかる力は
F = ma
= mvω
これを向心力といい、常に中心を向いている。
/***
ベクトル⊿vが想像できない時は自分で図を書いてみると
いいだろう。
・点Ｏを中心とする半径rの円(物体の運動軌跡)を書く。
・円上のある点に物体がある時のvベクトルを書く。
このベクトルは円に接するはず。
・その点から⊿t秒後の点は、どこだろう。
ω⊿tの角度だけ進んだ所の円上の点となる。
・その時のv'ベクトルを書く。やはりその点で円に接する。
・vベクトルとv'ベクトルはどの程度ずれてるだろう。
試しにv'ベクトルを平行移動して
2つのベクトルの始点を揃える。
・幾何的にvとv'の成す角度はω⊿t。
⊿vはvの終点からv'の終点を繋いだベクトル。
このベクトルは半径vで角度ω⊿tの扇の弧と近似できる。
***/
円運動するmがある点でvで動いてるとき
(円に対して)接線方向の加速度 ａr = dv/dt =r･dω/dt
法線加速度 ａn = vω
●半径Rの円状の床、例えば大きな円柱を横に倒して
その頂点Aにmの物体を静かに乗せると、しずかに転がり
やがて床から離れた。床の円の中心をOとして物体の位置
を点Pとする角度∠AOP=θを成した時物体は床から離れるか。
解）適当なθについて
物体の
接線加速度をar
法線加速度をan
床からの垂直抗力N
N=0となるのがギリギリ物体が床から離れるかどうかの状態。
接線向きと法線向きの運動方程式
m･ar = mg･sinθ
m･an = mg･cosθ-Ｎ …①
また円運動の性質から
ar = dv/dt
an = vω =rv^2 (= ω^2/r) …②
力学エネルギーから(失ったEp=Ek)
mgR(1-cosθ) = 1/2･m･v^2 …③
③からv^2が求まり②に代入することでanが求まり
それを①に代入してNが求まる。
N=0となるθが求まる。
●木かなんかで出来た直方体からまっすぐに
半径Rの円柱をくりだす。空いた円の穴の下にmをvで運動させ
円を上らせる。どこで床(壁？)から離れその後どういう運動
をするか。
解）略
--回転運動の運動方程式 --------------------------------
点Oを中心にr離れたところをvで動く物体mにかかっている
力のモーメントは
N = rF
= rma
= rm(dv/dt)
= m･r^2(dω/dt)
今、m･r^2をIとする。このIを慣性モーメントと呼ぶ。
N = I･dω/dt
これが回転運動における運動方程式。
-うわーい。比較表 ---------------
+----------+------------+
| 直線運動 | 回転運動 |
+- --------+- ---------+
|F=m･dv/dt | N=I･dω/dt |
+==========+============+
| m | I |
| F | N |
| v | ω |
| mv | Im(=L) |
| 1/2mv^2 | 1/2Iω^2 |
+----------+------------+
角度θの床の上を半径rの円柱が転がる。
床との摩擦力をfとする。
速度vで転がってる時、次の３式が成立する。
①斜面平行方向に dv/dt = r･dω/dt
②直線運動方程式 m･dv/dt = mg･sinθ-f
③回転運動方程式 N=rf = I･dω/dt
②からfが求まりそれを③に代入しdω/dtが求まり
それを①に代入するとdv/dtが求まる。Iはmr^2。
t=0でv=0とすればv=at=t･dv/dt
●失われたEpとEkの和(直線と回転)は等しいか？
解）もちろん等しいです。計算してみてください。
--慣性モーメントIについてもう少しkwsk-----------------
○質量mの「一質点」がある点の周りを半径rの円周上
を回転運動する時の慣性モーメントI=mr^2
というのが定義。
----------
○同一円周上の半径rと半径Rの円周上を回転する
2質点mとMを併せた系のIを考える。
回転する速度ωが同じであるから。
N = rF + RF'
= rma + RMa'
= rm(r･dω/dt) + RM(R･dω/dt)
= (mr^2 + MR^2)･dω/dt
よって
I=mr^2+MR^2 である。
----------
○同様にして幾つかの質点(質量m[i], 回転する円の半径r[i])
が同じ角速度で回転する系のIは
I = Σm[i]r^2[i]
である。
Iは回転軸からの距離rに依存するから、回転軸の取り方に
よってIは変わる。一般に重心を通る軸の時Iは最小。
質点ではなくて連続したもの、つまり普通の立体なら
Σが、∫になる。やってみる。
----------
○半径r、質量Mのリング状の物体のIを考える。回転軸はリング
の中心を通り垂直とする。リングの太さは考えないでみる。
解）この物体をN個の微小部分に分ける。
一つの微小部分は質量dmの質点と見なせるから、その質点の
"微小"慣性モーメントはdI=dmr^2
∴I = ∫dI
= ∫dmr^2
= Mr^2
----------
○半径R、高さh、質量Mの円柱について考える。回転軸は底面
の円の中心を通り垂直とする。
解）回転軸からキョリをrとする。rでの厚さdrの筒状の微小
物体に分ける。（図が無いとか不親切ですね）
その微小物体の微小慣性モーメントはリング状であるのに注意
して、
dI = dm･r^2
微小物体の微小質量はrによって違うので注意が必要である。
この円柱の密度をρとしたら
ρ= M/(π･R^2･h)
これを使って
dm = ρ(2πr･dr･h)
よって
I = ∫dI
= ∫dm･r^2
= ∫2ρπhr^3･dr
展開して解くと
I = (1/2)MR^2
やった！hが入ってないよ！hが増えればMが増えるから当然だね。
微小部分の区分方法を変えてみても面白い。
----------
○半径R、質量Mの球を考える。回転軸は球の中心を通る。
解）回転軸にx軸を置く。球の中心がx=0。
回転軸の垂直な向きに厚さdxで薄～く輪切りに区分する。
微小部分の微小慣性モーメントは円柱だから
dI = dm･r^2/2
微小円柱の半径をrと勝手に置いたが
r = √(R^2 - z^2)
また微小質量は
dm = ρ(πr^2･dz)
ρはやっぱり密度で、
ρ = M/{(4/3)πR^3}
で、ここまでの情報だけで、後は解けるハズ。
dzの積分は-R～+Rであることに注意すれば、
I = (2/5)MR^2
--単振動 ----------------------------------------------
物体の位置を表す式は
x = r･sin(ωt+α)
xは半径rの円をy軸に平行な光を当てた時のx軸上の影の位置。
周期 T=2π/ω
周波数 ν=1/T
速度 v = dx/dt = ωr･cos(ωt+α)
加速度a = dv/dt = -ω^2r･sin(ωt+α)
・・・！
a = -ω^2･y
F = -mω^2･ｙ
キョリに比例する復元力(引力)が働いてる。
バネについてフックの法則により
F = -kx
これが単振動を起こすとき
-k = -mω^2 ⇔ ω=√(k/m)
∴Ｔ = 2π√(m/k) ←ミカン(MiKan)
m･(d^2x/dt^2) = -kx
が単振動の運動方程式
--単振り子 --------------------------------------------
おもりmに長さlの紐をつけた振り子が鉛直方向に対して
θを成す幅で振れる。θ<<1 (θは0以上で且つ1に比べて極め
て小さい)とする。
おもりの水平向きの位置をxとする。一番下の位置をx=0
接線方向の運動方程式は
m(d^2x/dt^2) = -mg･sinθ
今θ<<1なので
sinθ=θと近似でき
弧の長さをx近似すれば
θ=x/l
を代入して
m(d^2x/dt^2) = -mgx/l
⇔ d^2x/dt^2 = (g/l)x
これは単振動の運動方程式と見ることができて
x = sin(ωt+α) と表せる。
これを２回微分すれば
d^2x/dt^2 = -ω^2sin(ωt+α)
なので
ω=√(g/l)であることが分かる。
Ｔ = 2π√(l/g) ←リンゴ(LinGo)
●なんか適当な形の物体、たとえば円柱が水平に
水に浮いている。重力と浮力がつりあってる状態
から物体をxだけ余計に沈めて手を離す。この後
物体は単振動を起こすわけだが周期とかを研究
してみよ。
水の密度をρとすると
浮力は物体によって押しのけられた水の質量と
考えれるので物体が水の中に体積V入ると
ρVの力で物体は跳ね返る。
--単振動の力学エネルギ --------------------------------
単振動における力学的エネルギーは保存されているだろうか？
解1) 単振動をする物体の位置をxとして
x = Asin(ωt+a)
⇒v = ωAcos(ωt+a)
力学エネルギーは
F=kxによる位置エネルギEpと運動エネルギEkの和
Ep = 1/2kx^2
= 1/2･k･A^2･sin^2(ωt+a)
Ek = 1/2mv^2
= 1/2･m･ω^2･A^2･cos^2(ωt+a)
ω=√(k/m) を代入してみると
Ep + Ek = 1/2･k･A^2 で一定。 //
解2) 単振動の運動方程式
m(d^2x/dt^2) = -kx
両辺をv(=dx/dt)倍すると
mv(d^2x/dt^2) = -kxv
⇔ mv(dv/dt) = -kx(dx/dt)
一般の微分法の話として
xの関数fについて
f^2をxで微分すると
df^2/dx = 2f(df/dx)
この式の(右辺)⇒(左辺)を当てはめる。
⇔ 1/2mv^2 = -1/2kx^2
⇔ 1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 0(即ち一定) //
--ベクトルで復習 --------------------------------------
まず少しベクトルの勉強
a = (a1, a2, a3)とすると
da/dt = (da1/dt, da2/dt, da3/dt) …①
各々の成分を微分すればよい。
a,bはベクトル、λはスカラー(ベクトルではない)tの関数
d(a+b)/dt = da/dt + db/dt …②
d(λ･a)/dt = (dλ/dt)a + λ(da/dt) …③
d(a･b)/dt = (da/dt)･b + a･(db/dt) …④
d(a×b)/dt = (da/dt)×b + a×(db/dt) …⑤
●vで運動する物体について
|v|が一定の時(等速直線運動や等速円運動など)
v^2はtに関わらず一定なので
d(v^2)/dt = 0
上の④から
2v･dv/dt = 0
dv/dtというのは加速度ベクトルaなので
これを使うと
v･a = 0
速度ベクトルと加速度ベクトルの内積がゼロ
⇔2つのベクトルは垂直
が示された。
●物体mに力Fが加わりvで運動する
F = m･dv/dt
両辺にvを内積で掛ける
F･v = mv･dv/dt
= 1/2 m･v^2
(力積)=(Ek)
という式が示された。
●角運動量について
F = m･dv/dt
両辺に位置ベクトルrを外積で左から掛ける。
r×F = mr×dv/dt
= d(mr×v)/dt (∵下の証明参考)
-上の右辺の変換について ---------
d(r×v)/dt = dr/dt×v + r×dv/dt
= v×v + r×dv/dt
= 0 + r×dv/dt
= r×dv/dt
---------------------------------
r×FはモーメントベクトルN
mr×vを角運動量ベクトルLで表すと
N = dL/dt
L = mr×v (= Iω ∵円運動の節参照)
r = (x, y, z)
v = (v1,v2,0)とすると
Lのz成分
Lz = m(x･v2-y･v1)
●面積速度
点Oを中心に適当な運動する物体mの位置を点Pで表す。
OPがt秒で掃くような面積をSとする。
Sの変化率
Ω=dS/dt
を面積速度と呼ぶ。
Pの位置ベクトルをr
その時の速度ベクトルをv
とすると
⊿S = 1/2r×v⊿t
∴Ω=⊿S/⊿t
= 1/2r×v
= L/2m (L=mr×vだから)
Lが一定なら面積速度は一定である。
L = Iω
--万有引力 --------------------------------------------
2物体m1とm2がrだけ離れている。
この二つの間には引力ｆが働いており
m1･m2
f = G─────
r^2
物体m2が地球(質量M、半径R)である場合この引力は
重力と呼ばれ、重力はmgのはずである。
物体m1の代わりにmを地球の表面に置いたとき、
mg = GmM/R^2
∴重力加速度g = GM/R^2 (≒9.81274±0.00003)
物体mを位置r1からr2まで運ぶ時。
⊿r = r2-r1とする。
重力がする仕事は
W = -∫[r1～r2]GMm/r^2･dr
= -GMm(1/r1 - 1/r2)
重力に対する仕事なのでWには負号がついている。
重力による位置エネルギーをUとした時、
UはWの符号を変えたものであるから(定義)
U = GMm(1/r1 - 1/r2)
r1を位置エネルギーの基準とし
r2に物体の位置を代入することでr2にある物体の
Epが求まる。
さて基準r1だが、r1=0(地球の中心)とするのはまずい。
都合のいいようにr1→∞(無限遠点)とすると
1/r1=0
とできて計算が楽になる為これを共通の基準とする。
rの位置にある物体の位置エネルギは
mM
Ep = -G ──
r
と表せる。
●第一宇宙速度
地球(質量M、半径R)の表面すれすれを物体mが回るのに
必要な速度(地球上から水平に投げた物体mが落ちる事
なく一周して戻ってくる速度)はいくらか？
●第二宇宙速度
地上から真上に物体mを投げ落ちてこない速度(重力から
脱出する速度)はいくらあればよいか？
===Hint=============
遠心力(向心力)mvωと重力GmM/R^2が釣り合えばよい。
mvωはmv^2/R
GmM/R^2はmg
物体が無限遠点に到着してもなお速度v>0、即ちEk>0
であればよい。無限遠点の時Ep=0なので、Ek+Ep>0で成立。
Ek+Epはいつも一定で当然初期の状態のEk+Epと等しい。
====================
===上二つの答え=====
√gR
√(2gR)
====================
--波 --------------------------------------------------
=======================================================
==他に ================================================
--E=mc^2の話 ------------------------------------------
質量2mの光の粒がx軸上を正の向きに速度cで運動している。
今、この粒が質量mを失った(=質量mになった)時
速度vでx軸上を正の向きに運動したとする。
運動量(質量*速度)の保存則によって
mc = (m/2)v
∴v=2c
今質量を失う前後で運動エネルギーEkは
mc^2から2mc^2に変化し、つまりmc^2増加したことになる。
因みにアインシュタインこれを
『質量 m[kg] がエネルギー mc^2[J] に変換された』と考えた。
==========================================================
= ==
== =
= ==
== (c)Kero's World =
==========================================================
////////////////////////
最後微妙に嘘じゃないか？
コメ(0) | トラ(0)
(c)Kero's World