日記「芦」

腐る一歩手前、紙一重のところが鴨肉の一番うまいときなのです(中島らも著「超老伝　カポエラをする人」より) 発破の日 - 数学 2011/8/8(Mon.)

1990年代に書かれた本を読んでいて、日本人の平均年齢が七十代の大台を越えて
北欧に追いつきそうだ云々なんて書いてあった。今はもう八十何歳とかだった
はず。でもあくまでも平均だ。40歳で死ぬ人は死ぬ。遺伝だってあるでしょ。
でも、40歳で死ぬ人の二倍、100歳まで生きるんだろうな。

享年と人数でヒストグラムを取れば、きっとピークが80歳な正規分布に
なるんだろうなあ。(ピークというか平均だけど)
で、思ったんだけれど、40歳がピークの正規分布と100歳がピークの
正規分布の二つの和で表せるのかな。とか考えてて眠気が覚めた。

正規分布って式、結構めんどくさいよね。
ちょっと変更しよう。

「同じ形のグラフ(f(x); xは実数)同士の和((f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x))も同じ形か？」

そもそも同じ形、って何だっけ。
調べたら「平行移動すると重なる」である。そうか。
そしたら和が元の同じ形にはなりそうにないな。

じゃあ、例えば
グラフf(x)に対して、任意の実数定数aで:a･f(x/a)をf(x)の等倍拡大と呼ぶことに
して、「等倍拡大したグラフも、元のグラフと同じ形とする」という
ルールを付け加える。//「相似」と呼べば分かりやすかったんじゃないか? (2011/8/10)
あくまでも私個人のルールである。

つまり、今言ったのをそのまま表現すると
∀β1, β2, α,x: ∃β', α'
s.t.	β1･f(x/β1)+β2f(x/β2+α) = β'･f(x/β'+α')
両辺をβ[1]で割って、β[2]/β[1]をβとし、β'/β[1]をβ'と改め、
変数x/β[1]をxと改めて書きなおせば、

∀β, α,x: ∃β', α'
s.t.	f(x)+βf(x/β+α) = β'･f(x/β'+α')
こんなxについての恒等式が作れる("∀x"とわざわざ書いちゃった)コト。




取り敢えず、f(x)を多項式にして、低次元で実験してみる。
f(x)=c(定数)の時
c+βc=β'c
∴β'=1+β　とすればよい

f(x)=axの時(aは定数)
ax+β(ax/β+α)=β'('ax/β'+α')
⇔ ax+βα=β'α'
これがxの恒等式であって欲しいんだけど、a≠0ならば、これは成り立たない。
なんだこんなもんか。

これがダメだったらx^nなんてきっとダメダメだよね。

f(x)=axnの時。(nは自然数)
ax^n+β(x/β+α)^n = β'(x/β'+α)^n

x^nの項の係数比較して
a+1/βn-1 = 1/β'n-1
これでβ'が決まっちゃう。 もしかしたら複素数かもだけど

定数項を比較して
βα^n = β'α'^n
さっきのと合わせればα'も決まっちゃう。

もちろん恒等式かどうかはまた決まってない。
ていうか整数i>1として、xn-iの項の係数を比較する。
(n;i)β(1/β)n-iαi = (n;i)β'(1/β')n-iαi
∴β(1/β)n-iαi = β'(1/β')n-iαi
iにi-1を入れても成り立って、その式の両辺で上のを割り算すると
βα = β'α'
もしα=0だったら簡単にα'=0とすればいいけど、そんなのはもっと初めの式で
気づくべきだったし、ゼロで割り算してたことになる。

とにかく、下の連立方程式を得た。
a+1/βn-1 = 1/β'n-1
βα^n = β'α'^n
βα = β'α'
n≧1の時、これは矛盾して成り立たない。
はい。つまんない～～

コメ(0) | トラ(0)

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